Jeżeli a, to funkcję  f(x) =określoną na zbiorze liczb rzeczywistych

nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym.

Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana parabolą.

     

 

Przykłady:

a) y = 2x2;

b) y = 3x2 –7x +5;

c) y = -

 

WŁASNOŚCI:

a)      Jeżeli a>0, to :

·        Ramiona paraboli skierowane są w górę

·        Zbiór wartości tej funkcji Y= R+

·          Funkcja f(x) =jest rosnąca dla x

·          Funkcja f(x) =jest malejąca dla x

·          Wierzchołek paraboli ma współrzędne W(0;0)

·          Jedyne miejsce zerowe tej funkcji to punkt W(0;0)

·          Wartość najmniejsza tej funkcji to y = 0 dla x =0(czyli współrzędne wierzchołka)

·          Funkcja f(x) =jest parzysta ,ponieważ jej wykres jest symetryczny względem osi OY

·          Funkcja f(x) =nie jest różnowartościowa (np.f( -1)= f(1))

·          Oś symetrii wykresu funkcji f(x) =ma równanie x = .Jest to prosta przechodząca zawsze przez wierzchołek paraboli i prostopadła do osi OY

b)      Jeżeli a<0 , to:

·        Ramiona paraboli skierowane są w dół

·        Zbiór wartości tej funkcji Y= R -

·          Funkcja f(x) =jest rosnąca dla x

·          Funkcja f(x) =jest malejąca dla x

·          Wierzchołek paraboli ma współrzędne W(0;0)

·          Jedyne miejsce zerowe tej funkcji to punkt W(0;0)

·          Wartość największa tej funkcji to y = 0 dla x =0(czyli współrzędne wierzchołka)

·          Funkcja f(x) =jest parzysta ,ponieważ jej wykres jest symetryczny względem osi OY

·          Funkcja f(x) =nie jest różnowartościowa (np.f( -1)= f(1))

·          Oś symetrii wykresu funkcji f(x) =ma równanie x = .Jest to prosta przechodząca zawsze przez wierzchołek paraboli i prostopadła do osi OY

                                                                             

 

 

 

Jeżeli wykres funkcji f(x) =ax2 przesuniemy o wektor , to otrzymamy funkcję określoną wzorem f(x) = a(x-p)2 +q .

Jest to postać kanoniczna trójmianu kwadratowego, zaś funkcja kwadratowa określona wzorem f(x) = ax2 +bx +c (gdzie ajest postacią ogólną tego trójmianu.

 

        Oczywiście każdą funkcję kwadratową z postaci ogólnej można sprowadzić do postaci kanonicznej (i odwrotnie). Stosujemy wtedy następujące wzory:

       p =   oraz q = , gdzie

p i q - współrzędne wierzchołka paraboli           ∆ - wyróżnik trójmianu kwadratowego (delta)

W(p;q)=W(xw ;yw)

 

Przykład:

Funkcja kwadratowa dana jest wzorem: f(x) = 4x2 –5x +1

a)      oblicz współrzędne wierzchołka paraboli

b)      zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej

c)      podaj zbiór wartości tej funkcji

d)      określ przedziały monotoniczności

e)      podaj ilość miejsc zerowych

f)        napisz równanie jej osi symetrii

g)      określ rodzaj ekstremum

 

Rozwiązanie:

a)      Wyznaczam współczynniki trójmianu kwadratowego: a = 4,b = -5, c =1.Obliczam p = -=  -4 i q = -. A zatem W(.

b)      Postać kanoniczna tej funkcji to: f(x) = 4(x-

c)      Ponieważ a>0, więc parabola skierowana jest ramionami w górę. A zatem ZWf =

d)      Funkcja jest malejąca dla x a rosnąca dla x

e)      Funkcja posiada dwa różne miejsca zerowe x1 = 1 lub x2 =

f)        Oś symetrii ma równanie : x = p =

g)      Ponieważ a > 0, więc mamy do czynienia z wartością najmniejszą ymin = q = -

 

 

 

 

Funkcja kwadratowa dana w postaci ogólnej f(x) =ax2 +bx +c (gdzie a:

  1. posiada dwa różne miejsca zerowe: x1 =  oraz x2 = wtedy i tylko wtedy, gdy Wówczas można ją zapisać w postaci iloczynowej:  f(x) = a(x-x1)(x-x2).

  2. posiada  jedno miejsce zerowe:x0 = wtedy i tylko wtedy, gdy Wówczas można ją zapisać w postaci iloczynowej: f(x) =a(x-x0)2.

  3. nie posiada miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy i wówczas trójmian nie rozkłada się na czynniki

 

     

Przykład:

Podane funkcje zapisz w postaci iloczynowej;podaj ilość miejsc zerowych:

a)      f(x) =3x2 –10x +3

b)      f(x) = 5x2 +2x +1

c)      f(x) = -2x2 –10x –12,5

 

Rozwiązania:

a)      obliczam a zatem ,czyli funkcja posiada dwa różne miejsca zerowe: x1=oraz x2 = .Można ją zapisać w postaci iloczynowej: f(x) =3(x-

b)      obliczam a zatem  czyli funkcja nie posiada miejsc zerowych i nie można przedstawić jej w postaci iloczynowej

c)      obliczam ponownie a zatem czyli funkcja posiada jedno miejsce zerowe:xo = .Wówczas można ją zapisać w postaci iloczynowej: f(x) = -2(x +2,5)2

 

 

Równanie kwadratowe zupełne ma postać:(*) ax2 +bx +c = 0, gdzie a

Ilość jego rozwiązań zależy od znaku .

  1.  jeżeli to równanie(*) ma dwa różne rozwiązania x1 oraz x2 określone jak wyżej

  2.  jeżeli to równanie (*) ma jedno rozwiązanie xo określone wzorem jak wyżej 

  3. jeżeli to równanie (*) nie posiada rozwiązania

   

 

     Równanie kwadratowe niezupełne może mieć postać: (**) ax2 +bx =0 lub (***) ax2 +c =0. Równanie typu (**) można rozwiązać następująco: x(ax +b) = 0

                                                                                                                            = -       

Równanie typu (***) można rozwiązać następująco:ax2 = c x2 = lub x =         (o ile a i c mają ten sam znak!).Jeśli a i c są różnych znaków, to równanie (***) nie posiada rozwiązania.    

Przykład:

Rozwiąż równania:

a)8x2 = 7x;

b) 4-3x2=0;

c) (x+2)(x+6) = 8x -3

Rozwiązania:

a)      8x2 –7x =0                  

x =0 8x-7 =0

x =                       

c)x 2 +6x +2x +12= 8x –3

x2 = -15            brak rozwiązania

b)      –3x2 = -4 / :(-3)

 x2 =

x =    lub x =       

 

 Jeżeli a, to każdą nierówność postaci ax2 +bx +c >0, ax2 +bx +c<0, ax2 +b +c 

ax2 +bx +c nazywamy nierównością kwadratową.

Aby znaleźć jej rozwiązanie, szukamy miejsc zerowych i szkicujemy pomocniczo wykres.

          

Przykład 1:

Rozwiąż nierówności: a) 2x2 –4x +2 >0      b) –x2 –2x –2 >0         c) x2 –2x -3        d) 4

Rozwiązania:

a) a zatem xo =                     

b)   

c)

x1 = -1 ; x2 = 3      

             

d) 4-x2  

x1 =2; x2 = -2

odpowiedzi: a) x    b) brak rozwiązania  c) x    d) x.

 

Przykład 2:

Dane są zbiory: A ={xi B = {x.Wyznacz zbiory:

 

Rozwiązanie:

Wyznaczam elementy zbioru A i B.W tym celu rozwiązuję obie nierówności: -x2 –3x +4  ; zatem

      A ={x}

 

 B: (1+x)(x-5)<0    

      

B ={x

Wyznaczam zbiory:

A

A

A \ B =

                

 

WZORY  VIETE’A

         Jeżeli a i to suma i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego można przedstawić jako: x1 + x2 = oraz

                                                               

 

       Wzorów Viete’a używamy do:

  • określania znaków pierwiastków równania kwadratowego
  • obliczania sumy i iloczynu tych pierwiastków bez ich bezpośredniego wyznaczania
  • obliczania wartości wyrażeń zawierających pierwiastki równania kwadratowego

 

Przykład 1:

   Bez obliczania pierwiastków równania: x2 –7x +5 =0 ,wyznacz ich sumę i iloczyn i określ ich znaki.

 

Rozwiązanie:

Obliczam czyli ,więc istnieją pierwiastki tego równania. Zatem  oraz Ponieważ x1+x2 >0 i x1x2 >0, więc oba pierwiastki są dodatnie.

 

Przykład 2:

    Oblicz wartość wyrażeń:

a)                        

b)   wiedząc,że x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji f(x) = -x2 –6x +27.

 

 

Rozwiązania:

Obliczam  Skoro ,więc istnieją pierwiastki tego równania. Zatem

a) =          

b)    = (x1 +x2)2 –2x1x2 =   

 

WŁASNOŚCI   

·        Równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki dodatnie    

·        Równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki ujemne

·        Równanie kwadratowe posiada pierwiastki różnych znaków

 

Przykład:

        Dla jakich wartości parametru m równanie : (*) x2 –2(m-2)x +m2 –2m –3 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie?

 

Rozwiązanie:

a= 1, b = -2(m-2),  c = m2 –2m –3. Aby równanie (*) miało dwa różne pierwiastki dodatnie muszą być spełnione warunki:  .

 

Obliczam

= -8m +28. Ponieważ  oraz x1+x2 = -2(m-2), więc

x1+x2>0 .Ponadto x1x2= m2 –2m –3, ale x1x2>0

 

 

 

 

                                                                            m               

 

Zebranie wyników:

 

 

 

                                                      -1         2        3      3,5           m

 

ODP. Dla  równanie (*) ma dwa różne pierwiastki dodatnie.