ELEMENTY KOMBINATORYKI

 Jeżeli X jest zbiorem składającym się z n różnych elementów, to każdy ciąg n-elementowy o różnych elementach nazywamy n- wyrazową permutacją zbioru X. Liczbę tych permutacji oznaczamy symbolem Pn i obliczamy korzystając ze wzoru: Pn = n!

     Jeżeli X jest zbiorem składającym się z n różnych elementów, to każdy ciąg k-elementowy (ko różnych elementach nazywamy k- wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru X. Liczbę tych wariacji oznaczamy symbolem   i obliczamy korzystając ze wzoru: = .

     Jeżeli X jest zbiorem składającym się z n różnych elementów, to każdy ciąg k-elementowy (ko wyrazach, które mogą się powtarzać nazywamy k- wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru X. Liczbę tych wariacji oznaczamy symbolem   i obliczamy korzystając ze wzoru: .

     Jeżeli X jest zbiorem składającym się z n różnych elementów, to każdy podzbiór k-elementowy (ko różnych elementach nazywamy n- wyrazową kombinacją zbioru X.

Liczbę tych kombinacji oznaczamy symbolem    i obliczamy korzystając ze wzoru: .

Symbol nazywamy symbolem Newtona i czytamy ,,n po k”.

      Warto zauważyć, że kolejność wyboru tych k –wyrazów ze zbioru n- elementowego X nie ma znaczenia tylko przy kombinacjach, w pozostałych przypadkach kolejność jest bardzo istotna.

 

WŁASNOŚCI SYMBOLU NEWTONA

   a)

   b)

   c)

      Oczywiście wiadomo, że n i koraz, że n! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5).....4. Ponadto przyjmujemy ,że 0! =1.Symbol n! czytamy ,, n silnia” i interpretujemy jako iloczyn kolejnych liczb naturalnych do n łącznie, np.7! =1.Warto pamiętać, że

  , ani n! , ani

Przykład 1:

Wykonaj działanie:

Rozwiązanie:

, o ile n i n

Przykład 2:

a)      Na ile sposobów ustawimy na półce 12 książek?

b)      Ze zbioru {1,2,3,4,5,6} losujemy kolejno bez zwracania 3 cyfry i tworzymy liczbę 3- cyfrową. Ile takich liczb można zbudować?

c)      Rzucamy monetą 4 razy. Ile jest możliwych wyników?

d)      Na ile sposobów można wybrać 5 kart z talii 52 kart?

 

Rozwiązania:

a)      Mamy tu do czynienia z permutacjami, a zatem P12=12! = 479001600 sposobów.

b)      Mówimy tu o wariacjach bez powtórzeń. Tworzymy 3-wyrazowe ciągi ze zbioru 6- elementowego. Zatem V63 = liczb 3- cyfrowych utworzymy w ten sposób

c)      Są to wariacje z powtórzeniami. Ze zbioru 2- elementowego tworzymy 4- wyrazowe ciągi, a zatem elementy muszą się powtarzać. Ich ilość obliczymy ze wzoru: W24= 24 =16.Wypiszemy wszystkie możliwości: {(0,0,0,0)(0,0,0,R)(0,0,R,0)(0,0,R,R)(0,R,0,0)(0,R,0,R)(R,0,0,0)(R,0,0,R)

(R,0,R,0)(R,0,R,R)(R,R,0,0)(R,R,0,R)(R,R,R,0)(R,R,R,R)}

            Przy tego rodzaju zadaniach pomocne jest tzw. ,,drzewko stochastyczne”.

d) Kolejność wyboru kart nie odgrywa tu roli, więc mamy do czynienia z kombinacjami. Liczbę tych kombinacji obliczymy następująco:

C525 =  sposobów.

Niech będzie zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu Ajest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że :

  1. P(A) P() = 1

  2. Dla każdej pary zdarzeń A,B zachodzi: P(A

to mówimy, że na zdarzeniach w zbiorze określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

 

  

Klasyczna Definicja Prawdopodobieństwa 

Jeśli wszystkie zdarzenia w zbiorze X są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe: P(A) = ,

gdzie - oznacza ilość zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A oraz

- oznacza ilość wszystkich zdarzeń elementarnych.

      Jeśli wszystkie zdarzenia w zbiorze X są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe: P(A) = , gdzie - oznacza ilość zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A oraz - oznacza ilość wszystkich zdarzeń elementarnych.

 

WŁASNOŚCI  PRAWDOPODOBIEŃSTWA

a)      P(Æ) = 0 prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero

b)      Jeśli Ato P(A)

c)      Dla każdego Azachodzi P(A)

d)      P(A’) = 1 – P(A) , gdzie A’ to zdarzenie przeciwne do zdarzenia A

 Przykład :

a)      Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek w obu rzutach wynosi 8 ?

b)      W partii 30 oporników 3 są wadliwe. Robotnik losowo wybiera 2 oporniki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden opornik jest dobry i jeden wadliwy?

c)      Z cyfr 1,2,3,4,5 losujemy jedną cyfrę a potem z pozostałych jeszcze jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane cyfry są nieparzyste?

 

Rozwiązania:

a) .Wszystkie możliwe wyniki przedstawiono w tabelce:                                                                                  

 

1

2

3

4

5

6

  1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

  2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

A- zdarzenie polegające na tym, że suma oczek na obu kostkach wynosi 8. Zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A to: A={(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)} .Zatem .Wówczas P(A) =

ODP: Prawdopodobieństwo tego, że suma oczek na obu kostkach wyniesie 8 równe jest

 

b) .Zdarzenie A- polega na tym, że jeden wylosowany opornik jest dobry i jeden jest wadliwy. Czyli .

Zatem P(A)=

ODP: Prawdopodobieństwo tego, że jeden wylosowany opornik jest dobry i jeden wadliwy wynosi.

 

c) Wszystkie możliwe wyniki przedstawiono poniżej:

Zdarzenie A – polega na tym, że obie wybrane cyfry są nieparzyste. Zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A to: A={(1,3)(1,5)(3,1)(3,5)(5,1)(5,3)}.Zatem Wówczas P(A) = .

ODP: Prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane cyfry są nieparzyste wynosi 0,3.

 

DEFINICJA

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zdarzenie B zajdzie, nazywamy liczbę :

P(A\B) =

     

 

TWIERDZENIE (o prawdopodobieństwie całkowitym)

       Niech B1, B2, B3 ,...,Bn wyłączają się parami, tzn. zachodzi BiÆ dla i , przy czym P(Bi) > 0 dla i = 1,2,3,...,n i niech , wówczas dla każdego Azachodzi:

 

P(A) =P(A\B1)P(B1) + P(A\B2)P(B2) + ... + P(A\Bn)P(Bn)

 

 

DEFINICJA

       Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli: 

P(AB) = P(A)P(B)

DEFINICJA

      Zdarzenia A, B, C są niezależne, jeśli:

P(AB) = P(A)P(B)

P(AC) = P(A)P(C)

P(BC) = P(B)P(C)

P(AB C) = P(A)P(B)P(C)

DEFINICJA

      Jeżeli przeprowadzamy N niezależnych i identycznych doświadczeń, w których są tylko dwa możliwe wyniki każdego z nich, to tego rodzaju ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia nazywamy schematem Bernoulliego, natomiast poszczególne doświadczenia nazywamy próbami Bernoulliego. W schemacie Bernoulliego jedno ze zdarzeń elementarnych nazywamy sukcesem, a drugie porażką.

 

TWIERDZENIE

W schemacie N prób Bernoulliego prawdopodobieństwo PN(k) otrzymania dokładnie

k- sukcesów wyraża się wzorem:

PN(k) =

gdzie p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, q – prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie i p + q = 1.

 

      

TWIERDZENIE

a)      Jeżeli (N +1)p nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego jest największa liczba całkowita ko taka, że : ko< (N+1)p

b)      Jeżeli (N +1)p jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne są wartości:(N+1)p -1

oraz (N +1)p i ich prawdopodobieństwa są równe.

 

 

Przykład:

a)      Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rodzinie z dwojgiem dzieci jest dwóch chłopców, pod warunkiem, że w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec?

b)      Zbadano grupę 250 kobiet i 400 mężczyzn. Okazało się, że 18% kobiet i 15% mężczyzn ma niebieskie oczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma niebieskie oczy?

c)      Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Zdarzenie A- polega na wylosowaniu króla a zdarzenie    B –na wylosowaniu karty koloru czarnego. Czy zdarzenia A i B są niezależne?

d)      Prawdopodobieństwo, że w danym dniu słońce świeci w Zakopanem wynosi Wyjeżdżamy na 14-dniowy urlop. Jakie jest prawdopodobieństwo, że słońce będziemy mieli dokładnie przez 10 dni?

e)      Prawdopodobieństwo, że zużycie wody w mieście nie przekracza dziennej normy wynosi . Oblicz najbardziej prawdopodobna liczbę dni w ciągu tygodnia , w których zużycie wody nie przekracza normy.

 

Rozwiązania:

a) , . Zdarzenie A –polega na tym ,że w rodzinie są dwaj chłopcy, czyli A ={(ch,ch)} a zdarzenie B-  w rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec, czyli

B ={(ch,dz)(dz,ch)(ch,ch)}. Stąd AB ={(ch,ch)}, więc P(A\B) =

ODP: Prawdopodobieństwo, że w takiej rodzinie jest dwóch chłopców pod warunkiem, że jest co najmniej jeden chłopiec wynosi

b) Zdarzenie A- polega na tym, że losowo wybrana osoba ma niebieskie oczy, zdarzenie B1- polega na wybraniu kobiety, zdarzenie B2- wybieramy mężczyznę .Zatem P(B1)= , P(B2) = ,

P(A|B1) = , P(A|B2) = Oczywiście mamy tu do czynienia z prawdopodobieństwem całkowitym. Spełnione są warunki zawarte w tym twierdzeniu, czyli B1B2  =Æ, B1B2 =,

P(B1)>0 i P(B2)>0. Zatem P(A) =P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) =

ODP: Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma niebieskie oczy wynosi

 

c) zatem P(A) =Zdarzenie AB –polega na wylosowaniu króla koloru czarnego, czyli Stąd P(AB) = Aby zdarzenia A i B były niezależne musi zajść warunek: P(AB)=P(A)P(B).

 

                                                                      = , czyli zachodzi równość.

ODP: Zdarzenia A i  B są niezależne.

 

d) Mówimy tu o schemacie Bernoulliego, w którym N =14 a k =10, gdzie k-jest sukcesem polegającym na tym, że w Zakopanem będzie świecić słońce. Wiemy też, że p = a zatem q = .

Obliczamy więc P14(k=10) = .

ODP: Prawdopodobieństwo tego, że słońce będziemy mieli przez dokładnie 10 dni, podczas naszego 2-tygodniowego urlopu, wynosi około 0,124743123.

 

e) Wiemy, że p = oraz N =7.Najpierw musimy wyznaczyć, jaką wartość ma wyrażenie (N+1)p. Podstawiając nasze dane dostajemy wartość 5,oczywiście 5więc najbardziej prawdopodobną liczbą dni w ciągu tygodnia, w których zużycie wody nie przekroczy normy to 4 dni lub 5 dni.

ODP: Najbardziej prawdopodobne jest, że w ciągu czterech lub pięciu dni w tygodniu zużycie wody nie przekroczy normy.