Jednomian jednej zmiennej to wyrażenie w postaci ax, gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n jest liczbą naturalną,  a x jest zmienną.

Podobnie można określić jednomian kilku zmiennych. Jednomianami są na przykład wyrażenia: 2xz, -7a, xyz, 15. Nie są jednomianami wyrażenia w postaci: , 2.

        Dwa jednomiany nazywamy podobnymi, jeśli w każdym z nich występują te same czynniki literowe w odpowiednio równych potęgach. Na przykład Jednomianami podobnymi są: 5x i - 2x, 3xy i - 4xy, gdzie m, n N.       

        Wielomianem nazywamy wyrażenie będące sumą jednomianów lub jednomianem.

Wielomianami są na przykład: 5a - 4b + 2c, 2x + xy - 3y, 5x- 4x+ 5. Szczególne znaczenie mają wielomiany jednej zmiennej.

        Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które ma postać

a+ax+ax+…+ax

gdzie a, a , a, …, a R,  a0 i n  N.

Liczby a, a, a, …, a nazywamy współczynnikami wielomianu.

Jeżeli a 0 i a = a= …= a=0, to taki wielomian jest wielomianem stałym, a jego stopień równa się zeru. Natomiast jeżeli a= a = a= …= a=0, to mamy wielomian zerowy. Przyjmuje się, że wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są wielomianami tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potę­gach zmiennej.

Jeśli w wielomianie jednej zmiennej w miejsce zmiennej podstawimy usta­loną liczbę, to po wykonaniu wskazanych działań otrzymamy wartość wielomianu dla tej liczby. W wielomianie k zmiennych należy podstawić ciąg k liczb, aby otrzymać wartość liczbową wielomianu dla tego ciągu.

Miejscem zerowym wielomianu nazywamy liczbę, dla której wartość wielomianu jest równa 0. W zbiorze wielomianów tych samych zmiennych wykonalne są działania dodawania, odejmowania i mnożenia.

Dodawanie wielomianów wykonujemy w ten sposób, że opuszczamy na­wiasy i do jednego wielomianu dopisujemy składniki pozostałych wielomianów z ich znakami.

Odejmowanie dwóch wielomianów wykonujemy w ten sposób, że opu­szczamy nawiasy i do pierwszego wielomianu dopisujemy składniki drugiego wielomianu z przeciwnymi znakami.

Jeżeli składnikami wielomianów są jednomiany podobne, to można prze­prowadzić ich redukcję. Mnożąc wielomian przez jednomian, stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

(a + b)c = ac + bc

Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, mnożymy ten jednomian przez każdy składnik wielomianu i tworzymy sumę tak otrzymanych jednomianów.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, stosujemy kilkakrotnie prawo rozdzielności

mnożenia względem dodawania:          

(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd 

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, mnożymy każdy składnik jednego

wielomianu przez każdy składnik drugiego wielomianu i tworzymy sumę tak otrzymanych składników.

Jeśli pomnożymy odpowiednio dobrane wielomiany, to możemy otrzymać tzw. wzory skróconego mnożenia.                         Przypominamy niektóre z nich:

(a + b) = a+ 2ab + b

(a - b) = a- 2ab + b

(a + b)(a – b) = a- b

(a + b) = a + 3ab + 3ab+ b 

(a - b) = a- 3ab + 3ab+ b 

 (a + b) (a-ab + b) = a+ b

(a - b) (a+ ab + b) = a- b

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu:  Dla każdego wielomianu W i każdego niezerowego wielomianu H istnieją wielomiany Q, R takie, że W = Q • H + R i stopień R jest mniejszy od stopnia H lub R jest wielomianem zerowym (nie ma on określonego stopnia).

Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez H .

Jeśli R jest wielomianem zerowym , to mówimy, że wielomian H jest dzielnikiem wielomianu W. W takim przypadku otrzymujemy równość W = Q • H. Z równości tej wynika, że Q też jest dzielnikiem W.

Miejsca zerowe wielomianu

Przypominamy, że miejscem  zerowym   (pierwiastkiem)  wielomianu

W = ax + a x+ … + ax+ a jest każda taka liczba r, że W(r) = 0.

Poznamy pewne twierdzenia, które ułatwią znajdowanie miejsc zerowych
wielomianu.

Twierdzenie Bézout Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwu­mian x — a.

Z  drugiej części twierdzenia  Bézout wynika, że reszta z dzielenia  wielomianu W przez dwumian (x — a) jest równa wartości wielomianu W dla x — a, czyli równa się W (a).

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu:  Jeżeli współczynniki wielomianu  ax + a x+ … + ax+ a, gdzie a0,    są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe r będące liczbą całkowitą, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego a.

Twierdzenie o postaci iloczynowej Jeżeli wielomian W = ax+ a x+ … + ax+ a,  gdzie a0,    ma n różnych miejsc zerowych x, x, x, …, x, to

W = a(x – x)(x - x)…(x - x)(x - x)

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej dru­giego stopnia.

Dla W = (x + 2)(x – 3) liczba r jest k-krotnym miejscem zerowym wielomianu W, jeśli ten wielomian jest podzielny przez (x — r) i nie jest podzielny przez (x - r), kN.